Чим віднімання складніше за додавання. Уривок з книги «Екскурсія математикою»

Ворог мого ворога

Традиційно відразу після того, як дітей навчили додавати, їх учать віднімати. Це логічно: в обох випадках потрібно використовувати однакову інформацію про числа, тільки навпаки.

І чорне мистецтво позичання, так важливе для успішного віднімання, лише трошечки вигадливіше за мистецтво перенесення в наступний розряд, його партнер у додаванні. Якщо ви вже можете підрахувати 23 + 9, то незабаром будете готові обчислити 23 − 9.

Однак на глибинному рівні віднімання порушує куди серйозніше питання — таке, яке в процесі додавання ніколи не виникає. Під час віднімання може з’явитися від’ємне число. Якщо я намагаюся забрати у вас 6 цукерок, але ви маєте тільки 2, я не зможу цього зробити — хіба що уявлю, ніби у вас мінус 4 цукерки, хоч би що це означало.

Віднімання змушує розширювати межі нашого уявлення про те, що таке числа. Від’ємні числа куди абстрактніші за додатні. Ви не можете побачити мінус 4 цукерки й точно не можете їх з’їсти, але спроможні їх уявити. І вам доводиться це робити, зважаючи на всі аспекти сучасного життя — від боргів та овердрафтів до розуміння температур замерзання і рівнів підземних гаражів для паркування.

Однак багато хто з нас так і не замирився з від’ємними числами. Як зазначив мій колега Енді Руїна, люди понавигадували всі можливі маленькі потішні способи обходити цей страшний знак мінус. У виписках пайових інвестиційних фондів збитки (від’ємне число) друкують червоним або ховають у дужки, тільки щоб не ставити мінус.

У книжках з історії написано, що Юлій Цезар народився в 100 році до н. е., але не в −100 році. Підземні рівні в місцях для паркування часто називаються В1 і В2. Температура — один із небагатьох винятків: люди говорять, особливо тут, в Ітаці (штат Нью-Йорк), що на вулиці −5 °С, хоча навіть тут скоріше скажуть: п’ять градусів нижче нуля. Щось є неприємне в знаку мінус, щось… негативне.

Найбільше, мабуть, вибиває з колії те, що від’ємне число, помножене на інше від’ємне, дає додатне. Я спробую пояснити, як це стається.

Як нам обчислити значення виразу, наприклад: −1 × 3, коли ми множимо від’ємне число на додатне? Що ж, так само, як 1 × 3 = = 1 + 1 + 1, природно для −1 × 3 = (−1) + (−1) + (−1) дати таке  означення, що дорівнює −3. Коли перевести це на гроші, усе стане очевидно: якщо ви щотижня винні мені 1 долар, то за три тижні ви опинитеся в борговій ямі на 3 долари.

Звідси вже легше буде зрозуміти, чому від’ємне число, помножене на від’ємне, дає додатне. Погляньте на цей ряд рівностей: 

• −1 × 3 = −3
• −1 × 2 = −2
• −1 × 1 = −1
• −1 × 0 = 0
• −1 × −1 = ?

Тепер погляньте на числа праворуч і зауважте, як упорядкована ця послідовність: −3, −2, −1, 0… На кожному кроці ми додавали один до попереднього числа. То хіба ви не згодні, що за логікою наступне число має бути 1?

Це один аргумент на користь того, що (−1) × (−1) = 1. Це означення цікаве тим, що в ньому дотримано правил звичайної арифметики: те, що працює для додатних чисел, так само працює для від’ємних. Але якщо ви стріляний горобець і бувалий прагматик, то можете замислитися, чи є в цих абстракцій паралелі в реальному світі. 

Визнаю, інколи життя ніби грає за іншими правилами. У традиційній моралі два неправильні вчинки не утворюють один правильний. Так само й мінус на мінус не завжди дає плюс. Мінус може стати ще сильнішим, як у рядку «Я не можу отримати жодного задоволення» (рядок із пісні Satisfaction групи The Rolling Stones — ред.).

(Взагалі, у цьому контексті в деяких мовах трапляються парадокси. Відомий філософ-лінгвіст Джон Остін колись читав лекцію в Оксфорді і говорив про те, що в багатьох мовах подвійне заперечення дає ствердність, але немає мов, де подвійне ствердження дає заперечення. На це філософ із Колумбійського університету Сідні Морґенбессер, який сидів в аудиторії, саркастично відповів: «Ага, ага»).

Однак є багато випадків, коли правила від’ємних чисел справді віддзеркалюються в реальному світі. Імпульс в одному нейроні може виникнути через імпульс у другому. Якщо третій нейрон сповільнить дію другого, тоді в першому може знову виникнути імпульс. Опосередковану дію третього нейрона на перший можна порівняти з нашим математичним прикладом: два мінуси дали плюс. Той самий ефект присутній у регуляції експресії генів: білок може «ввімкнути» ген, якщо заблокує іншу молекулу, яка пригнічувала цю ділянку ДНК.

Найвідоміша з паралелей до нашого прикладу з математики існує в політичному й соціальному полі. Це фраза «Ворог мого ворога — мій друг». Цю прописну істину та інші, пов’язані з нею, про друга мого ворога, ворога мого друга тощо, можна зобразити як трикутник.

Вершини позначають людей, компанії або країни, а сторони, що їх з’єднують, — їхні стосунки, які можуть бути позитивними (дружніми, зображені суцільними лініями) або негативними (ворожими, зображені пунктиром).

Соціологи зазвичай називають такі трикутники, як на малюнку зліва, де всі сторони позитивні, збалансованими. Нікому не потрібно змінювати свою думку, бо логічно припустити, що друзі наших друзів нам подобаються. Так само збалансованим вважається і трикутник справа, тому що там два негативи й один позитив, немає дисонансу. У ньому є місце ворожості, але ніщо так не скріплює дружбу, як ненавидіти одну й ту саму людину.

Звісно, трикутники можуть бути й незбалансовані. Коли троє ворогів оцінять ситуацію, двоє з них — зазвичай ті, які один до одного менш неприязні, — можуть захотіти об’єднатися проти третього.
Ще більш незбалансованим буде трикутник, де негативні стосунки наявні тільки з одного боку.

Наприклад, припустімо, що Керол дружить із Алісою й Бобом, але Боб і Аліса одне одного зневажають. Можливо, вони колись зустрічалися, але дуже погано розстались, і тепер кожен говорить про іншого лояльній до обох Керол погані речі. Від цього в усіх починається стрес. Щоб рівновага відновилася, Аліса й Боб мають помиритись або Керол доведеться вибрати чийсь бік.

У всіх цих випадках логіка рівноваги така сама, як і логіка множення. У збалансованому трикутнику знак, який отримуємо після множення двох сторін (плюс або мінус), завжди узгоджений із третьою стороною. У незбалансованих трикутниках ця логіка ламається.

Навіть якщо відкинути те, що ця модель тільки умовно правдоподібна, лишаються цікаві й суто математичні запитання. Наприклад, у тісній спільноті, де всі одне одного знають, який стан буде найбільш стабільним? Одна з можливостей — нірвана, стан доброзичливості, де всі стосунки позитивні і всі трикутники всередині спільноти збалансовані.

Але як не дивно, є й інші, не менш стабільні стани. Є стан конфлікту, який складно розв’язати, коли спільнота розбивається на дві ворожі частини (приблизно однакового розміру та складу). Усі члени кожної групи дружні один з одним, але антагоністичні до всіх із іншої частини. (Знайомо?). Ще більше дивує те, що такі полярні стани — це єдині стани, що так само стабільні, як і нірвана. Зокрема, якщо спільнота розіб’ється на три групи, усі трикутники збалансувати не вдасться.

Науковці використовували ці ідеї, щоб проаналізувати, як починалася Перша світова війна. На малюнках (с. 28) показано, як змінювалися альянси між Великою Британією, Францією, Росією, Італією, Німеччиною та Австро-Угорщиною в період із 1872-го по 1907-й.

У перших п’яти конфігураціях рівноваги не було, тому що в кожній із них був принаймні один незбалансований трикутник. Унаслідок цього з’являвся дисонанс, і країни повинні були перегруповуватися, а тоді зміни зачіпали всіх.

На останньому етапі Європа розбилася на два непримиримо опозиційні блоки — технічно збалансовані, але на порозі війни.

Суть не в тому, що ця теорія прекрасно допомагає передбачати майбутнє. Це не так. Вона занадто проста, щоб її можна було застосувати в усіх премудростях геополітики.

Суть у тому, що почасти те, що ми бачимо, — це просто примітивна логіка «ворог мого ворога», і цю частину прекрасно описує множення від’ємних чисел. Арифметика від’ємних чисел відділяє важливе і в такий спосіб може показати, де ховаються справжні загадки.